方差公式

若x1,x2,x3......xn的平均数为M，则方差公式可表示为：

方差公式

例1 两人的5次测验成绩如下：

X： 50，100，100，60，50 ，平均成绩为E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 ，平均成绩为E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型的计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

方差公式(3)1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2． D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取，C为常数，X为随机变量）；

证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

3．若X 、Y 相互独立，则，证：记

前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：（n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

方差公式：

方差公式(4)1．两点分布

2．二项分布

X ~ B ( n, p )

引入随机变量Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

7.t分布 :其中X~T（n），E（X）=0；；

8.F分布：其中X~F（m,n）,;

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差公式(3)设一组数据x1,x2,x3……xn中，各组数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2，(x2-2……(xn-)2，那么我们用他们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。