冲激函数

冲激函数的定义为：

通常，单位冲激函数满足：

（1）当时，

（2）

单位冲激函数又称Dirac函数或者函数。

注：单位冲激函数并不是经典意义下的函数，而是一个广义函数（或者奇异函数），它不能用通常意义下的“值的对应关系”来理解和使用，而是通过它的性质来使用。^[1]

选择一类性能良好的函数，称为检验函数（它相当于定义域），一个广义函数对检验函数空间中的每个函数赋予一个数值的映射，该数与广义函数和检验函数有关，记作。广义函数可写为

冲击函数与检验函数的作用效果是从中筛选出它在时刻的函数值，这常称为冲击函数的取样性质（或筛选性质）。简言之，能从检验函数中筛选出函数值的广义函数就称为冲击函数^[1]。

如果信号是一个在处连续的普通函数，则有

上式表明，信号与冲激函数相乘，筛选出连续时间信号在时的函数值，可以理解为冲激函数在时刻对函数的一瞬间的作用，其值是冲激函数和相乘的结果，瞬间趋于无穷大^[3]。

如果信号是一个在处连续的普通函数，则有

冲激信号的取样特性表明，一个连续时间信号与冲激函数相乘，并在时间域上积分，其结果为信号在时的函数值。该式可以理解为冲激函数作用于函数，趋于稳态时最终作用的结果，即得到信号在时刻的值^[3]。

冲激函数的导数性质如下：

其证明如下：

冲激函数的尺度变换性质如下：

其推论明如下：

（1）

（2）

（3） 当时，

（4），为偶函数

（5），为奇函数

冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度^[1][1]。