恒等函数

设为一集合，于上的恒等函数被定义于一具有定义域和陪域的函数，其对任一内的元素，会有的关系。于上的恒等函数通常标记为或。

设为任一函数，则会有其中""为函数复合)。特别地是，会是所有由至的函数所组成之幺半群的单位元。，

因为幺半群的单位元是唯一的，可以以上的单位元来替代其恒等函数的定义。此一定义广义化成了于范畴论中恒等态射的概念，其中的自同态并不必然要是个函数。

恒等函数是到函数，即，称之为恒等函数。显然，对，有。

1) 于正整数上的恒等函数为一数论中的完全积性函数。

2) 在一维向量空间内，恒等函数表示成单位矩阵，不论其基为何。

3) 在一度量空间，恒等函数很当然地为等距同构。一无任何对称的物件会有一对称群，即只包含这个恒等函数的平凡群。