三种孤立奇点有许多等价定义,以下列出部分,用以说明与洛朗级数的关系。
一个孤立奇点被称作可去奇点,如果
;
一个孤立奇点被称作极点,如果
;
一个孤立奇点被称作本性奇点(又译作本质奇点),如果极限
不存在。
复函数在一个以点
为圆心的解析的环形区域
上可以展开成这样的级数形式
:
其中,具有这样的形式:
。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,位于圆环A内。
此时,的洛朗展开式中,指数为负数的部分
称作
的主要部分(principal part)。
以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。
假设是复函数
的一个可去奇点,则
在
处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
假设是复函数
的一个极点,则
在
处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项;且主要部分的项数恰等于极点
的阶数。
假设是复函数
的一个本性奇点,则
在
处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。
函数在
处有孤立奇点。
余割函数在所有整数点处有孤立奇点。