拟合曲线

对于平面上给定的点，要寻找y与x之间的近似函数关系，插值法要求曲线准确通过每个给定点；而m较大时无论是高次插值还是分段低次插值都将很复杂，数据一般是由实验观测得到的，总会带有观测误差，刻意要求并不能反映真实的函数关系，反而会引起的波动加剧，因此用近似描述已知数据，不必要求在每个点处，误差，都为0，只需在所有点处的某种总体误差最小即可，这就是所谓的曲线拟合问题，亦称为离散函数最佳平方逼近问题。

设给定基函数，我们在集合

中寻求形如的函数，使其近似已知数据。

定义1对给定的数据，若

使得

则称为曲线族中的最小二乘拟合曲线，并称

为均方误差。

要确定拟合曲线(1)中的待定系数，由(2)式知，就是求多元函数

的最小值点()，由多元函数取极值的必要条件，有

从而有

这是n+1个方程、n+1个未知数的线性方程组，借助矩阵运算，可写成如下矩阵形式：

其中，而

方程组(3)称为法方程组，设线性无关(且满足Haar条件)，则行列式，线性方程组(3)存在唯一的一组解。

若取基函数，法方程的系数矩阵显然非奇异，此时一般称为多项式拟合，求解法方程组，得到拟合系数

从而得到

再由多元函数取极值的充分条件可证明，这样求出的确实是方程组(2)的解，即为最小二乘拟合曲线。

以上讨论的都是线性最小二乘拟合问题，即拟合曲线，也就是是基函数的线性组合，有些问题虽然数学模型不是线性模型，但通过变换可化为线性模型，则上述最小二乘拟合方法仍然可用。

选取拟合函数为指数函数

为待定常数，

这是一个关于的非线性模型，现通过适当变换将其化为线性模型，为此对两边取对数，有

令于是

这是一个关于的线性模型，原来的已知数据经取对数后变成一组新数据，这里

对这组新数据，求形如的拟合曲线。

取基函数则由(3)式可得法方程组，求解出后即得到拟合曲线，从而得到

选取拟合函数为幂函数

为待定常数，

这也是关于的非线性模型．两边取对数，同样可将其化为线性模型，即

令则拟合曲线为

这时基函数为将原数据中的取对数，得新数据其中对此新数据，用拟合即可。

双曲型也是关于的非线性拟合模型，作变形

令，则拟合曲线为化成了关于的线性拟合模型，这时新数据为，其中。基函数为由法方程组(3)即可求出拟合曲线进而求出拟合曲线。^[2]