超穷数理论基础

本书由G-CANTOR于1895和1897年在MATHEMATSCHEANNALEN上发表的两篇论文构成，是G-CANTOR关于超穷数理论研究二十多年工作的总结。第一部分为“全序集的研究”（1895），第二部分为“良序集的研究”（1897），内容分别为超穷基数和超穷序数理论。本书的引言部分是英译者P.E.B.JOURDAIN对超穷数理论创立过程的历史追溯，书后的附注是对1897年以后超穷数理论发展所作的一个扼要介绍。

康托尔,G.F.L.Ph.(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡;1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷.数学,集合论.康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根,1807年英国炮击哥本哈根时,他们家几乎丧失了一切,随后迁往俄罗斯的圣彼得堡,那里有康托尔祖母的亲戚.康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Woldemar Cantor)年轻时,曾在圣彼得堡经商.后来,在汉堡,哥本哈根,伦敦甚至远及纽约从事国际买卖.1839年由于某种原因破产了.但不久,他又转到股票交易上,并很快取得了成功.1842年4月21日,魏特曼与们婚后有六个孩子,康托尔是他们的长子.1856年,康托尔随同全家移居德国的威斯巴登,并在当地的一所寄宿学校读书.后来在阿姆斯特丹读六年制中学.1862年,开始了他的大学生活.他曾就学于苏黎世大学,格丁根大学和法兰克福大学.1863年,他父亲突然病逝,为此,康托尔回到了柏林,在柏林大学重新开始学习.在那里,他从当时的几位数学大师K.W.T.魏尔斯特拉斯(Weierstrass),E.E,库默尔(Kummer)和L.克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西.特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学.从此,他集中全力于哲学,物理,数学的学习和研究,并选择了数学作为他的职业.可是,最初他父亲并不希望

他献身于纯粹科学,而是力促他学工.但是,康托尔越来越多地受到数学的吸引.1862年,年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定.尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑,但仍以极大的热情支持儿子的事业.同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识,他还极力培养康托尔在文学,音乐等方面的兴趣.康

托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪.

由于康托尔一开始就具有献身数学的信念,这就为他创立超穷集合论,取得数学史上这一令人惊异的成就,奠定了基础.尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责,但是他不顾众多数学家,哲学家甚至神学家的反对,坚定地捍卫了超穷集合论.也正是这种坚定,乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就.

1866年12月14日,康托尔的第三篇论文"按照实际算学方法,决定极大类或相对解"(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位.这时,他的主要兴趣在数论方面.1869年,康托尔在哈雷大学得到教职.他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题.不久,任副教授,1879年任教授,从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世.1872年以后,他一直主持哈雷大学的数学讲座.

在柏林,康托尔是数学学会的成员之一.1864—1865年任主席.他晚年积极为一个国际数学家联盟工作.他还设想成立一个德国数学家联合会,这个组织于1891年成立,康托尔是它的第一任主席.他还筹办了1897年在苏黎世召开的第一届国际数学家大会.1901年,康托尔被选为伦敦数学会和其他科学会的通讯会员或名誉会员,欧洲的一些大学授予他荣誉学位.1902年和1911年他分别获得来自克里斯丁亚那(Christiania)和圣安德鲁斯(St.Andrews)的荣誉博士学位.1904年伦敦皇家学会授予他最高的荣誉:西尔威斯特(Sylvester)奖章.

1874年初,康托尔经姐姐G.索菲(Sophie)介绍,与瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)订婚,并于同年仲夏结婚.他们共有五个孩子.那时,哈雷大学教授的收入很微薄,康托尔一家一直处在经济困难之中.为此,康托尔希望在柏林获得一份收入较高,更受人尊敬的大学教授的职位.然而在柏林,康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力.他是一个有穷论者,竭力反对康托尔"超穷数"的观点.他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击,还阻碍康托尔到首都柏林工作,使康托尔得不到柏林大学的职位.由于他的攻击,还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度,致使康托尔在1884年患了抑郁症.最初发病的时间较短,1899年,来自事业和家庭生活两方面的打击,使他旧病复发.这年夏天,集合论悖论萦绕在他的头脑中,而连续统假设问题的解决仍毫无线索.这使康托尔陷入了失望的深渊.他请求学校停止他秋季学期的教学,还给文化大臣写信,要求完全放弃哈雷大学的职位,宁愿在一个图书馆找一份较轻松的工作.但他的请求没有得到批准.他不得不仍然留在哈雷,而且这一年的大部时间是在医院度过的.同时,家庭不幸的消息也不断传来.在他母亲去世三年后,他的弟弟G.康士坦丁(Constantin)从部队退役后去世.12月16日,当康托尔在莱比锡发表演讲时,得到了将满13岁的小儿子G.鲁道夫(Rudolf)去世的噩耗.鲁道夫极有音乐天赋,康托尔希望他继承家族的优良传统,成为一个著名的小提琴家.康托尔在给F.克莱因(Klein)的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情,而且使他回想起自己早年学习小提琴的经历,并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑.到1902年,康托尔勉强维持了三年的平静,后又被送到医院.1904年,他在两个女儿的陪同下,出席了第三次国际数学家大会.会上,他的精神又受到强烈的刺激,他被立即送往医院.在他生命的最后十年里,大都处在一种严重抑郁状态中.他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期.1917年5月他最后一次住进这所医院直到去世.

康托尔的工作大致分为三个时期,早期,他的主要兴趣在数论和经典分析等方面;之后,他创立了超穷集合论;晚年,他较多地从事哲学和神学的研究.康托尔的成就不是一直在解决问题,他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法,从而开创了大量新的研究领域.这使他成为数学史上最富于想象力,也是最有争议的人物之一.

1874年,29岁的康托尔就在《克雷尔数学杂志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上发表了关于超穷集合理论的第一篇革命性文章,引入了震撼知识界的无穷的概念.这篇文章的题目叫:"关于一切代数实数Zahlen).尽管有些命题被指出是错误的,但这篇文章总体上的创造性引起了人们的注意.康托尔的集合论理论分散在他的许多文章和书信中,他的这些文章从1874年开始分载在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》(Mathemati-sche Annale)两种杂志上.后被收入由E.策梅罗(Zermelo)编的康托尔的《数学和哲学论文全集》(Gesammelte Abhandlangen mathematischen und philosophischen Inhelts)中.1879年至1884年间,康托尔相继发表了六篇系列文章,并汇集成《关于无穷线性点集》其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果.1883年,康托尔认识到,要想对无穷的新理论作进一步推广,必须给出较前四篇系列文章更为详尽的阐述.随后他又发表了第五和第六两篇文章,简洁而系统地阐述了超穷集合论.他在第五篇文章里,还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题,其中包括回答反对者们对实无穷的非难.这篇文章非常重要,后来曾以《集合通论基础,无穷理论的数学和哲学的探讨》(Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre,ein mathematisch-philosophischer Versuch Der Lehre Des Unendlichen)(以下简称《集合通论基础》)为题作专著单独出版.