拐点

拐点

中文名 拐点
适用范围 数理科学
又名 反曲点
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定义

设函数y=f(x)在点的某邻域内连续,若(,f())是曲线y=f(x)凹与凸的分界点,则称(,f())为曲线y=f(x)的拐点

注:拐点(,f())是曲线上的一点,它有横坐标和纵坐标,不要只把横坐标当成拐点。

存在条件

必要条件

设函数f(x)在点的某邻域内具有二阶连续导数,若(,f())是曲线的拐点,则,但反之不成立。

第一充分条件

直接根据拐点的定义,可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

设函数f(x)在点的某邻域内具有二阶连续导数,若的两侧异号,则(,f())是曲线y=f(x)的一个拐点;若的两侧同号,则(,f())不是曲线的拐点。

第二充分条件

设函数y=f(x)在点,但,那么存在的一个领域,在该领域内,根据函数单调性判定定理,则在该邻域内单调递增或单调递减,而,故存在点的一个邻域,在点的两侧异号,从而判定为曲线y=f(x)的拐点的横坐标。根据以上分析,可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。

,且,则(,f())是曲线y=f(x)的拐点。

除上述情况外,f(x)的二阶导数不存在的点也有可能是的符号发生变化的分界点。

拐点的求法

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点:

⑴求f''(x);

⑵令f''(x)=0,解出此方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f''(x)不存在的点;

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点,检查f''(x)在左右两侧邻近的符号,那么当两侧的符号相反时,点(,f())是拐点,当两侧的符号相同时,点(,f())不是拐点。

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