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上极限

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定义

对一序列，令

（二者必定存在，且）分别称为当n→∞时，x的上极限与下极限。关于其他极限过程的上、下极限可类似定义。[1]

数列上极限

给定无穷数列，它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。

或定义为。因为是递减的，所以讨论其极限值是有意义的。

集合上极限

给定无穷集合列，称为无穷集合列的上极限集，含义为属于无穷个的元素组成的集合。[2]

运算性质

在同一极限过程中下列式子成立：

若u存在，则上面的不等式成为等式。

比较性质

若，则

若，a，b是常数，则

与极限的关系

lim u存在，则

lim u=l，则

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