有界

设函数在数集上有定义，如果存在常数，使得对任意，有

则称函数在数集上有界，否则称为无界。

例如，函数在其定义域内有界，这是因为对任意，总有。

再如，函数在其定义域内是无界的，这是因为对任意的实数，总存在点，显然，使得，然而，对任意实数，函数在定义域的子集上却是有界的，这是因为对任意，总有，于是便可取实数．使得。^[2]

设函数在数集上有定义，如果存在常数，使得对任意，有

则称函数在数集上有上界，并称M为在A上的上界．如果存在常数m，使得对任意，有

则称函数在数集上有下界，并称m为在上的下界。

显然，若在A上有界，则在A必有上、下界，反之，若在A上有上、下界，则在A上必有界。

由定义1可知，在集合A上有界函数的图形在A上，应介于平行于x轴的两条直线之间，如图1所示。^[2]

图1

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2)．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如。

图2

例1：讨论下列函数的有界性：

(1)；

(2)．

解:(1)由于对一切，都有故在上是有界函数。

(2)根据的图形(见图3)容易看出，不论正数M多么大，不等式不可能对一切均成立，因此在上是无界函数。

但如果在区间上讨论函数，因对一切，不等式成立，故在区间上是有界函数。^[3]

例2：

证明：函数是有界函数。

证明：的定义域为，又

因此是有界函数。^[3]