角平分线性质定理

●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．

合并图册(5)即 在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.

证明：

如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD/CD

又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC.

1.角平分线可以得到两个相等的角。

角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。

如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD等于角BAD。

2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。

如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD：

作BE=BD交射线AS于E，如图1：

∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDE，

∴∠AEB=∠ADC

又∵∠BAE=∠CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.

另外的情况，

如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,如图3，直线BC交AN的反向延长线于C;

此时，仍有AB/BD=AC/CD

证法与图1类似

角平分线性质定理(3)【角平分线逆定理】

1.到角两边的距离相等的点在角平分线所在直线或它外角平分线所在直线上。

2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD则：AS平分∠MAN

证明：过B作BH∥AC交AS于H

∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)

∴AC/CD=HB/BD

又AB/BD=AC/CD

∴AB=BH

∴∠BHA=∠BAH=∠HAC

∴AS平分∠MAN