十七角星

卡尔·弗里德里希·高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家，是近代数学奠基者之一，18岁时发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10元面值德国马克的纸币上。^[1]

先计算或作出cos(360°/17)

设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a

故sin16a=-sina，而

sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0，两边除之有：

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等

注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等，有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有：

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

经计算知xy=-1

因而：x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4

其次再设：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+√17)/4

y1+y2=(-1-√17)/4

最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

在OB上作C点使OC=1/4OB，

在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 　作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，

此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆

过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七角星的所有顶点。^[2]

因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。 作法如下：1.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。这样，如果每条小线段算作0.1的话，那么整条线段就是1.8。2.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕！3.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

大多数的同学认识数学王子—高斯(GAUSS.德国数学家西元1777年~1855年)是由国中数学课本讲等差级数时有这一则故事。据说高斯在幼年时，老师出了一道复杂的计算题，即「求由1到100所有整数和」，但高斯却令人惊讶的在几秒内就算出它的正确答案为〝5050〞。这使他的老师再也不敢看不起乡下小孩，进而使老师更卖力地帮助高斯，直到他无法教给高斯更进一步的数学知识。^[1]

高斯不但解决了正十七边形的作图问题，而且也知道在理论上，用圆规和直尺作图，哪些正多边形可以做到，哪些是不能做到。他的定理说：

正n多边形可以尺规作图之主要条件是n可以写成，其中都是不相同的费马质数。所谓费马质数就是形如Fn=[2^(2^n)]+1的质数，法国数学家Pirre Fermat（费马1601-1665）曾研究这些数并猜想所有型如的数皆为质数，这是不对的。Euler（莱昂哈德·欧拉1707~1783）发现含有合数641。^[2]