双曲正切函数

双曲正切函数（tanh）的定义与三角函数十分类似，它也是双曲正弦函数（sinh）与双曲余弦函数（cosh）的商^[2]。定义式为：。

由于，，那么双曲正切函数的定义式为：

双曲正切的定义域为。^[3]

我们也可以推导出来：由于双曲正切函数定义式的分母是，根据高中课本里的基本不等式：

双曲正切函数得出

可见，双曲余弦函数的分母永远为正，不可能为零，则得出了该函数的定义域。

双曲正切函数的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。^[3]

即双曲正切函数的值域是(-1,1)。

证明：

当时，由于,则。

当时，由于，则。

双曲正切函数是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称。^[3]

下面是证明：首先明确双曲正切函数的定义域是。

。

而

得出，则证明出双曲正切函数为奇函数。

双曲正切函数的图像无论是双曲正切函数y=tanhx，还是双曲正弦函数y=sinhx、双曲余弦函数y=coshx，它们都不是周期函数。^[4]

双曲正切函数在区间内是单调增加的。^[3]

证明如下：

对双曲正切函数求导。

双曲正切函数

而

得出双曲正切函数的导数为：。而无论x取何值，双曲余弦函数的值始终大于等于1，得出x在内大于0，单调递增。

双曲正切函数的图像

双曲正切函数在上是凹函数，在上是凸函数^[4]。

根据定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在（a,b）内,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

（2）若在（a,b）内,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

则给双曲余弦函数二次求导，得

而双曲余弦函数恒大于0，而双曲正弦函数在x<0时，它的值小于0，x>0时，它的值大于0，即得出上述结论。

除了双曲正切函数的定义式外，双曲正切函数还有以下式子。

1、和角公式：

2、差角公式：（和角公式的推导）

3、二倍角公式：（和角公式的推导）

4、恒等式：

双曲的导数是双曲余弦的平方的倒数。即：

这与三角正切的导数相类似。

双曲正切函数的积分^[5]是：

双曲正切函数其中，大写的C为任意常数。另外，还有关于双曲正切函数的积分公式：

双曲正切函数其中，小写的c为任意一个实数，是左边式子中x前的系数。

双曲正切函数的泰勒展开式为^[3]：

双曲正切函数可化为：

其中，

反双曲正切函数的图像双曲正切函数的反函数是反双曲正切函数，记作artanhx。它的定义式^[5]为：

这函数的定义域为开区间（-1,1），它在开区间（-1,1）内是单调增加的奇函数，它的图形关于原点对称。