共轭函数

设函数，定义函数为

此函数称为函数的共轭函数。使上述上确界有限，即差值在有上界的所有构成了共轭函数的定义域。图1描述了此定义。

图1

图1中，函数以及某一。共轭函数是线性函数和之间的最大差值，见图中虚线所示。如果可微，在满足的点处差值最大。^[2]

显而易见，是凸函数，这是因为它是一系列的凸函数(实质上是仿射函数)的逐点上确界。无论f是否是凸函数，都是凸函数。(注意到这里当是凸函数时，下标可以去掉，这是因为根据关于扩展值延伸的定义，对于)。

Fenchel不等式

从共轭函数的定义我们可以得到，对任意和，如下不等式成立

上述不等式即为Fenchel不等式(当可微的时候亦称为Young不等式)。^[2]

以函数为例，其中，我们可以得到如下不等式

共轭的共轭

上面的例子以及“共轭”的名称都隐含了凸函数的共轭函数的共轭函数是原函数。也即：如果函数f是凸函数且f是闭的(即是闭集)，则。例如，若，则我们有，即f的共轭函数的共轭函数还是f。

可微函数

可微函数f的共轭函数亦称为函数f的Legendre变换。(为了区分一般情况和可微情况下所定义的共轭，一般函数的共轭有时称为Fenchel共轭。)^[2]

设函数f是凸函数且可微，其定义域为，使取最大的满足，反之，若满足，在处取最大值。因此，如果，我们有

所以，给定任意y，我们可以求解梯度方程，从而得到y处的共轭函数。

我们亦可以换一个角度理解。任选，令，则

伸缩变换和复合仿射变换

若a>0以及b∈R，的共轭函数为。

设非奇异，，则函数的共轭函数为

其定义域为。^[2]

独立函数的和

如果函数，其中和是凸函数，且共轭函数分别为和，则

换言之，独立凸函数的和的共轭函数是各个凸函数的共轭函数的和。(“独立”的含义是各个函数具有不同的变量。)^[2]

考虑R上一些凸函数的共轭函数。^[2]

，作为x的函数，当且仅当y=a，即为常数时有界。因此，共轭函数的定义域为单点集，且。

，定义域为。当时，函数无上界，当y<0时，在处函数达到最大值。因此，定义域为，共轭函数为。

，当时，函数无界。当y>0时，函数在处达到最大值。因此。当时，。综合起来，(我们规定)。

，定义域为(同上面讨论，)。对所有 y，函数关于在上有上界，因此。在处，函数达到最大值。因此。

，。当y>0时，无上界。当y=0时，函数有上确界0；当y<0时，在处达到上确界。因此，且。^[2]