蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

蝴蝶定理的证明
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：

1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。

2. 圆可以改为任意圆锥曲线。

3. 将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:，这对1, 2均成立。

^[2][3]

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST

可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所对的圆周角相等）

△ESD∽△CSF（AAA）

证法1:霍纳证法

∴DS/FS=DE/FC

根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2

∴DS/FS=DL/FT

又∵∠D=∠F

∴△DSL∽△FST

∴∠SLD=∠STF

即∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB（垂径定理逆定理）

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆（对角互补的四边形共圆），

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON（同弧所对的圆周角相等）

∴∠SON=∠SOM

∴∠OTS=∠OMS，∠OLS=∠ONS（同弧所对的圆周角相等）

∴∠OMS=∠ONS

∵OS⊥AB

∴在△OSM和△OSN

∠MSO=∠NSO

∠OMS=∠ONS

OS=OS

∴△SOM≌△SON（AAS）

∴MS=NS

作图法

证法2(2)从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。

（证明过程见图片）

证明方法二

证法3:对称证法（证明过程见图片）

（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】

连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，

连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线

证法5:帕斯卡定理证法(2)∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°

又∵CI、EJ为⊙O直径

∴∠GFK=∠HDK=90°

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°

∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆

∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH

又∵∠GFM=∠MDH

∴∠GKM=∠MKH

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴△GMK≡△HMK（ASA）

∴GM=MH

1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.

2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.

3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：

圆外蝴蝶定理如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）

通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。

圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。

射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在唯一一个投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.

由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。

在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，由对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。

例题：

椭圆中的蝴蝶定理

如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，

中心为M(o，r)（b>r>0）。

（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率

（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)

（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证： | OP | = | OQ |。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。

类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'

证明过程图片设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得为

1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’

设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’

将①’两边同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。

筝形中命题证明

在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，过直线BD上一点P任作两条直线，一条与直线 AD、BC 交于E、F，另一条与直线 AB、CD 分别交于 G、H，直线 GF、EH 分别与 BD 交于 I、J。则

特别地，当点 P 为 BD 中点时，有 PI=PJ。此时本题为1990年中国中学生数学冬令营选拔考试试题，被称为筝形蝴蝶定理。

证明如图。^[4]

坎迪定理去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，称为「坎迪定理」，这对2，3均成立^[2]

这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。

这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。

另外一种早期的证明由M.布兰德（Mile Brand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"给出，只有一句话，用的是线束的交比。

“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。

1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。^[2][3]

1990年，CMO出现了筝形蝴蝶定理。

蝴蝶定理蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。^[2][3]