卡丹公式

卡丹公式确定一般的三次方程的根的公式.

如果用现在的数学语言和符号,卡丹公式的结论可以借助于下面这样一种最基本的设想得出。

假如给我们一个一般的三次方程：

ax+(3b/a)x+3cx+d=0 （1）

如果令

x=y-b/a

我们就把方程（1）推导成

y+3py+2q=0 （2）

其中3p=3c/a-3b/a，2q=2b/a-3bc/a+d/a 。

借助于等式

y=u-p/u

引入新变量u 。把这个表达式带入（2），得到：

（u）+2qu-p=0 （3）

由此得

u=-q±√（q+p），

于是

y=√（-q±√（q+p））-p/√（-q±√（q+p）） 。

=√（-q+√（q+p））+√（-q-√（q+p）） 。

（最后这个等式里的两个立方根的积等于-p 。）

这就是著名的卡丹公式。

如果再由y转到x，那么，就能得到一个确定一般的三次方程的根的公式。

卡丹通晓数学，就像通晓一群质朴的人的风俗习惯那样容易。费拉里知道了三次方程的解法之后，确实过了不长时间，他就找到了四次方程的解法。正像费拉里在他和塔尔塔利亚争论时所宣称的那样，卡丹把这一方法写进自己的书里了。

我们在前面已经看到，利用并不复杂的代换可以把三次方程（3）归结为关于u3的二次方程（4）。费拉里现在去寻找把一般四次方程归结为一个三次方程的可能性，这是十分自然的。

设 ax4+4bx3+6cx2+4dx+e=0 （5）

是一个一般的四次方程。如果令

x=y-b/a

那么，方程（5）可以归结为

y4+2py2+2qy+r=0 （6）

其中p，q，r是一些取决于a，b，c，d，e的系数。容易看出，这个方程可以写成这样的形式：

（y2+p+t）2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r （7）

确实，如果把括号打开，那么，所有含t的项互相抵消，我们就能回到方程（6）。

我们这样选取参数t，使方程（7）的右边是关于y的完全平方。众所周知，位于等号右边的（关于y的）三项式系数判别式为0，是这个完全平方的充分必要条件，

即： q2-2t（t2+2pt+p2-r）=0 （8）

我们得到了这样一个已经能解的一般的三次方程。求出它的任何一个根，并代入形为

（y2+p+t）2=2t（y-q/2t）2 的方程（9），由此得 y2±√（2t）y+p+t±q/√（2t）=0 。