标量场

当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时，数学上只需用一个代数量来描绘，这些代数量（即标量函数）所定出的场就称为数量场，也称标量场。^[1]最常用的标量场有温度场，电势场，密度场，浓度场等等^[2]。

一个标量场可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将表示为。

令，其中是任意常数，则该式在几何上表示一个曲面，在这个曲面上的各点，虽然坐标不同，但函数值相等，称此曲面为标量场的等值面。随着的取值不同，得到一系列不同的等值面。同理，对于由二维函数所给定的平面标量场，可按得到一系列不同值的等值线。

标量场的等值面或等值线，可以直观地帮助我们了解标量场在空间中的分布情况。例如，根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。^[3]

设为标量场中的一点，从出发引出一条射线，在上点附邻取一点，记线段，如果当时，的极限存在，则称它为函数在点处沿方向的方向导数，记作：

由此定义可知，方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率，故当时，沿方向是增加的；当时，沿方向是减少的。^[3]

在直角坐标系中，设函数在处可微，则有：

在上式中，当时，有。

将上式两边同除以并取极限得到方向导数的计算公式：

在上式中，为方向的方向余弦。^[3]

方向导数为我们解决了函数在给定点处沿着某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，标量场在不同方向上的变化率一般来说是不同的，那么，可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，我们定义一个矢量，其方向就是函数在点处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，这个矢量称为函数在点处的梯度，记为：

算子与标量函数相乘为一矢量函数。在直角坐标系中，梯度又可以表示为：

另外，以后还会经常用到标量拉普拉斯算子，即：。在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为：。

标量函数在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为：

标量函数在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为：

（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影，即；

（2）标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。

（3），这个式子表明：如果有一个矢量场满足，即是一个无旋场，则矢量场可以用一个标量函数的梯度表示，即，该标量函数称为势函数，对应的矢量场称为有势场。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。^[3]

在一定的单位制下，用一个实数就足以表示的物理量是标量，如时间、质量、温度等；在这里，实数表示的是这些物理量的大小。^[4]

和标量不同，矢量是除了要指明其大小还要指明其方向的物理量，如速度、力、电场强度等；矢量的严格定义是建立在坐标系的旋转变换基础上的。常见的矢量场包括Maxwell场、重矢量场。^[4]