当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时,数学上只需用一个代数量来描绘,这些代数量(即标量函数)所定出的场就称为数量场,也称标量场。[1]最常用的标量场有温度场,电势场,密度场,浓度场等等[2]。
一个标量场可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中,可将
表示为
。
令,其中
是任意常数,则该式在几何上表示一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标
不同,但函数值相等,称此曲面为标量场
的等值面。随着
的取值不同,得到一系列不同的等值面。同理,对于由二维函数
所给定的平面标量场,可按
得到一系列不同值的等值线。
标量场的等值面或等值线,可以直观地帮助我们了解标量场在空间中的分布情况。例如,根据地形图上等高线及其所标出的高度,我们就能了解到该地区的高低情况,根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。[3]
设为标量场
中的一点,从
出发引出一条射线
,在
上
点附邻取一点
,记线段
,如果当
时,
的极限存在,则称它为函数
在点
处沿
方向的方向导数,记作:
由此定义可知,方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率,故当
时,
沿
方向是增加的;当时
,
沿
方向是减少的。[3]
在直角坐标系中,设函数在
处可微,则有:
在上式中,当时,有
。
将上式两边同除以并取极限得到
方向导数的计算公式:
在上式中,为方向
的方向余弦。[3]
方向导数为我们解决了函数在给定点处沿着某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点
出发,标量场
在不同方向上的变化率一般来说是不同的,那么,可以设想,必定在某个方向上变化率为最大。为此,我们定义一个矢量
,其方向就是函数
在点
处变化率为最大的方向,其大小就是这个最大变化率的值,这个矢量
称为函数
在点
处的梯度,记为:
算子与标量函数
相乘为一矢量函数。在直角坐标系中,梯度又可以表示为:
另外,以后还会经常用到标量拉普拉斯算子,即:。在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为:
。
标量函数在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为:
标量函数在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为:
(1)方向导数等于梯度在该方向上的投影,即;
(2)标量场中每一点
处的梯度,垂直于过该点的等值面,且指向函数
增大的方向。也就是说,梯度就是该等值面的法向矢量。
(3),这个式子表明:如果有一个矢量场
满足
,即
是一个无旋场,则矢量场
可以用一个标量函数
的梯度表示,即
,该标量函数称为势函数,对应的矢量场称为有势场。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。[3]
在一定的单位制下,用一个实数就足以表示的物理量是标量,如时间、质量、温度等;在这里,实数表示的是这些物理量的大小。[4]
和标量不同,矢量是除了要指明其大小还要指明其方向的物理量,如速度、力、电场强度等;矢量的严格定义是建立在坐标系的旋转变换基础上的。常见的矢量场包括Maxwell场、重矢量场。[4]