标量场

标量场

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定义

当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时,数学上只需用一个代数量来描绘,这些代数量(即标量函数)所定出的场就称为数量场,也称标量场。[1]最常用的标量场有温度场,电势场,密度场,浓度场等等[2]

标量场的等值面

定义

一个标量场可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中,可将表示为

,其中是任意常数,则该式在几何上表示一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标不同,但函数值相等,称此曲面为标量场的等值面。随着的取值不同,得到一系列不同的等值面。同理,对于由二维函数所给定的平面标量场,可按得到一系列不同值的等值线。

作用

标量场的等值面或等值线,可以直观地帮助我们了解标量场在空间中的分布情况。例如,根据地形图上等高线及其所标出的高度,我们就能了解到该地区的高低情况,根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。[3]

标量场的方向导数

定义

为标量场中的一点,从出发引出一条射线,在点附邻取一点,记线段,如果当时,的极限存在,则称它为函数在点处沿方向的方向导数,记作:

由此定义可知,方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率,故当时,沿方向是增加的;当时沿方向是减少的。[3]

方向导数的计算

在直角坐标系中,设函数处可微,则有:

在上式中,当时,有

将上式两边同除以并取极限得到方向导数的计算公式:

在上式中,为方向的方向余弦。[3]

标量场的梯度

定义

方向导数为我们解决了函数在给定点处沿着某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发,标量场在不同方向上的变化率一般来说是不同的,那么,可以设想,必定在某个方向上变化率为最大。为此,我们定义一个矢量,其方向就是函数在点处变化率为最大的方向,其大小就是这个最大变化率的值,这个矢量称为函数在点处的梯度,记为:

算子与标量函数相乘为一矢量函数。在直角坐标系中,梯度又可以表示为:

另外,以后还会经常用到标量拉普拉斯算子,即:。在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式为:

标量函数在圆柱坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为:

标量函数在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为:

性质

(1)方向导数等于梯度在该方向上的投影,即

(2)标量场中每一点处的梯度,垂直于过该点的等值面,且指向函数增大的方向。也就是说,梯度就是该等值面的法向矢量。

(3),这个式子表明:如果有一个矢量场满足,即是一个无旋场,则矢量场可以用一个标量函数的梯度表示,即,该标量函数称为势函数,对应的矢量场称为有势场。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。[3]

标量场和矢量场

在一定的单位制下,用一个实数就足以表示的物理量是标量,如时间、质量、温度等;在这里,实数表示的是这些物理量的大小。[4]

和标量不同,矢量是除了要指明其大小还要指明其方向的物理量,如速度、力、电场强度等;矢量的严格定义是建立在坐标系的旋转变换基础上的。常见的矢量场包括Maxwell场、重矢量场。[4]

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