锥面

通过一个定点V且与定曲线r(它不过定点V)相交的所有直线构成的曲面称为锥面；定点V叫做顶点。定曲线C叫做锥面的准线，构成曲面的每一条直线叫做母线。设锥面的准线的方程为

那么通过顶点和准线上一点的直线即锥面的母线方程是^[2]

令上式的比值等而得

因是准线上的点，故适合式，将上式代入，然后再消去t，即得锥面的普通方程。 特别地，如果锥面的顶点为坐标原点，准线为^[2]

那么锥面的方程就是

事实上，因母线的方程为

又

消去便得^[2]

以原点为顶点的锥面方程是关于的齐次方程，反之，一个含的齐次方程的图形总是顶点位于原点的锥面。^[2]

事实上．设是曲面上的一点(但不是原点)。即，则直线OP上的任意一点M的坐标为

一定也适合方程，因为

这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。^[2]

求以原点为顶点，以椭圆

为准线的锥面(图1)的方程。^[2]

图1

解据式

知，所求锥面的方程是

即

这是关于的二次齐次方程，这锥面叫做二次锥面，当a=b时，就是圆锥面。