二维正态分布

二维正态分布

中文名 二维正态分布
别称 二维高斯分布
应用学科 统计学
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定律定义

满足下述的概率密度分布的随机变量分布叫做二维正态分布

其中都是常数,我们称服从参数为的二维正态分布,常把这个分布记作)。的范围分别为。这个函数在三维空间中的图像是一个椭圆切面的钟倒扣在平面上,其中心在()点。

公式验证

证明该函数是一个概率密度函数,其应该满足概率密度函数的基本性质:一是大于零,二是全空间上的积分等于1。第一点显而易见,下面给出条件二的证明。

做变换

再做变量代换

注意到

边缘概率密度

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式:并且都不依赖于参数,即不同的对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布是一样的。这一事实表明,单由关于X和关于Y的边缘分布,不能确定随机变量X和Y的联合分布,但加入了结合紧密程度的参数,就可以确定。

证明是一维正态分布

由于

于是

则有

同理

独立性

对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0。也即二维正态随机变量独立和不相关可以互推。以下给出证明过程。

必要性:如果ρ=0

充分性:如果X和Y相互独立,由于都是连续函数,有

特别令。得到

为使这一等式成立,从而ρ=0。[1]

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