满足下述的概率密度分布的随机变量分布叫做二维正态分布
其中都是常数,我们称
服从参数为
的二维正态分布,常把这个分布记作
)。
的范围分别为
。这个函数在三维空间中的图像是一个椭圆切面的钟倒扣在
平面上,其中心在(
)点。
证明该函数是一个概率密度函数,其应该满足概率密度函数的基本性质:一是大于零,二是全空间上的积分等于1。第一点显而易见,下面给出条件二的证明。
做变换
得
再做变量代换
注意到
得
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式:并且都不依赖于参数
,即
不同的
对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布是一样的。这一事实表明,单由关于X和关于Y的边缘分布,不能确定随机变量X和Y的联合分布,但加入了结合紧密程度的参数
,就可以确定。
证明是一维正态分布
由于
于是
令
则有
同理
对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0。也即二维正态随机变量独立和不相关可以互推。以下给出证明过程。
必要性:如果ρ=0
有
充分性:如果X和Y相互独立,由于都是连续函数,有
。
特别令。得到
为使这一等式成立,从而ρ=0。[1]