二维正态分布

满足下述的概率密度分布的随机变量分布叫做二维正态分布

其中都是常数，我们称服从参数为的二维正态分布，常把这个分布记作）。的范围分别为。这个函数在三维空间中的图像是一个椭圆切面的钟倒扣在平面上，其中心在（）点。

证明该函数是一个概率密度函数，其应该满足概率密度函数的基本性质：一是大于零，二是全空间上的积分等于1。第一点显而易见，下面给出条件二的证明。

做变换

得

再做变量代换

注意到

得

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式：并且都不依赖于参数，即不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布是一样的。这一事实表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，不能确定随机变量X和Y的联合分布，但加入了结合紧密程度的参数，就可以确定。

证明是一维正态分布

由于

于是

令

则有

同理

对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0。也即二维正态随机变量独立和不相关可以互推。以下给出证明过程。

必要性：如果ρ=0

有

充分性：如果X和Y相互独立，由于都是连续函数，有。

特别令。得到

为使这一等式成立，从而ρ=0。^[1]