整数分拆

4可以用5种方法写成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 。

定义 ，若n为负数则 。

此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。

分割函数p(n)，n从0开始：

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)

#include using namespace std;int main() {const int len = 121;int num[len + 1] = { 1 };for (int i = 1; i <= len; ++i)for (int j = i; j <= len; ++j)num[j] += num[j - i];for (int i = 0; i <= len; i++)cout << i << ' ' << num[i] << endl;return 0;}

每种分割方法都可用Ferrers图示表示。

Ferrers图示是将第1行放个方格，第2行放个方格……第行放个方格，来表示整数分割的其中一个方法。

借助Ferrers图示，可以推导出许多恒等式：

给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。

证明：将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射，便得到后者的一个数组。即两者一一对应，因此其数目相同。

例如 k=3，n=6：

上述恒等式的值亦等于将表达成刚好个正整数之和的方法的数目。

给定正整数。将表达成两两相异正整数之和的方法的数目，等于将表达成奇数之和的方法的数目。

例如：

1. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

   7 + 1

   3 + 3 + 1 + 1

   5 + 3

   5 + 1 + 1 + 1

   3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

1. 8

   7 + 1

   6 + 2

   5 + 3

   5 + 2 + 1

   4 + 3 + 1

将表达成个1和个2之和，这些方法的数目是第个斐波那契数。

将表达成多于1的正整数之和的方法数目是p(n) - p(n-1)。

的生成函数是

当|x|<1，右边可写成：

生成函数的倒数为欧拉函数，利用五边形数定理可得到以下的展开式：

将生成函数配合五边形数定理，可以得到以下的递归关系式

其中是第个广义五边形数。

一个 (5, 4, 1)分拆表示的杨表

一个杨氏矩阵与一个整数分拆一一对应，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨氏矩阵的个数。如图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨氏矩阵来表示的分拆更具有直观性，和可处理性，下面是几个例子。

(5, 4, 1)分拆的转置(3, 2, 2,2,1)

整数分拆（10=5+4+1）对应的杨氏矩阵沿x=y轴翻转得到新的杨氏矩阵。它对应分拆为10=3+2+2+2+1。

考虑带有附加条件的分拆。

差分拆

考虑满足下面条件分拆

1. （的大小不定）

   

及分拆的每个数都不相等。

生成函数是

奇分拆

考虑满足下面条件分拆

1. （的大小不定）

   

   要求 为奇数

生成函数是

.

引理

差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

渐近式：

这式子是1918年哈代和拉马努金，以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。

1937年，Hans Rademacher得出一个更佳的结果：

其中

。

表示互质时才计算那项。表示戴德金和。这条公式的证明用上了福特圆、法里数列、模群和戴德金η函数 。

在将表示成正整数之和的所有和式之中，任意正整数作为和项出现在这些式子内的次数，跟每条和式中出现次或以上的正整数数目，相同。

当时，此定理又称为Stanley定理。

以为例：

5

4+1

3+2

3+1+1

2+2+1

2+1+1+1

1+1+1+1+1

1. 1的总出现次数：0+1+0+2+1+3+5=12；在每条和式出现1次或以上的数的数目：1+2+2+2+2+2+1=12

   2的总出现次数：0+0+1+0+2+1+0=4；在每条和式出现2次或以上的数的数目：0+0+0+1+1+1+1=4。

当限定将表示成刚好个正整数之和时，可以表示为。显然，。

对于，

(OEIS:A004526)

= 最接近的正整数。(OEIS:A069905)

不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目：

将正整数写成模p同余r的正整数之和

将模p同余r正整数写成的正整数之和