西摩松线

一个数学史上的错误，就是将1797年瓦伦斯（William Wallace, 1768-1843) 的发现归功于另一个数学家西摩松（Robert Simson, 1687-1768）。这个发现就是现在大家所熟知的西摩松线（Simson’s line）。

三角形外接圆上一点作三边的垂线，则其三垂足共线，此线称为西摩松线 按照以下的指示，画出西摩松线。

1． 画一个圆及圆内接三角形ABC。

2． 在圆周上任选一点P。

3． 分别画出垂直于AB、BC、AC的线段PX、PY、PZ。

4． 将X、Y、Z三点连起来，此线即为西摩松线。

已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，

求证：X、Y、Z三点共线。

证明： 如图，连接PB、PC

因为∠AYP=∠BXP=90°

所以A、Y、P、X四点共圆

所以∠AYX=∠APX

同理C、Z、Y、P四点也共圆

所以∠ZYC=∠CPZ

在ΔAXP和ΔCZP中

∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ

所以∠APX=∠ZPC

所以∠AYX=∠ZYC

因为∠AYX+∠XYC=180°

所以∠ZYC+∠XYC=180°

所以X、Y、Z三点在同一条直线上