级数

设是一个无穷序列 ：，其前n项的和称为的部分和：

部分和依次构成另一个无穷序列：

这两个序列合称为一个级数，记作或者，其中符号为求和号。

对于级数，如果当趋于正无穷大时，s_n趋向一个有限的极限：，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，叫做级数的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和s。这时可以定义级数的余项和：。

如果级数中的各项可以是正数，负数或零，则级数称为任意项级数。将任意项级数各项取绝对值，得到正项级数。

如果任意项级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。

如果级数收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数的各项的绝对值所组成的正项级数收敛，则级数收敛。

于是，有

因为,均为正项级数，且收敛，由比较审敛法知，级数和收敛

又因为,所以由级数的定义可得，级数收敛。

该定理表明，如果级数绝对收敛，则级数必收敛。

若一个无穷级数收敛，其和为s，则如果每一项乘以一个常数a，得到的级数也收敛，且和等于as。

收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

和 ，则

.

级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：

和

这两个级数的敛散性是一样的。

当n趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：

在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数收敛的充要条件是，对任意 ，总存在，使得任意的，。

将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效），以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。

更多级数请参见级数列表。

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

一般来说，几何级数收敛当且仅当 |z| < 1。

调和级数是指通项为 的级数：

它是发散的。

p-级数是指通项为的级数：

对于实数值的p，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼ζ函数有著名的黎曼猜想。特别地，当p=1时，p-级数即为调和级数。

收敛当且仅当数列b_n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是b₁ − L。

泰勒级数是关于一个光滑函数 在一点 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 的各阶导数值构成，具体形式为：

这是一个幂级数。如果它在 附近收敛，那么就称函数 在点 上是解析的。

具有以下形式的级数

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

形同的函数项无穷级数称为的幂级数。它的收敛与否和系数有关。

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为的周期函数可以表示为：

其中，，，特别的，

若通项为实数的无穷级数每一项都大于等于零，则称是一正项级数。

如果无穷级数 是正项级数，则部分和S_n是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，要么部分和数列S_n有界，这时收敛，，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。

设 和 是正项级数。

如果存在正实数 M，使得从若干项开始，（也就是说），则

当 收敛时，可推出 也收敛。

当 发散时，可推出 也发散。

如果，则

当 收敛时，可推出 也收敛。

当 发散时，可推出 也发散。

如果，则 和 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：收敛，则级数：也收敛，因为对任意的 n ，。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 时， 发散，当时， 收敛。

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

设 是通项大于零的正项级数。并且，则

当 时，级数 收敛。

当 时，级数 发散。

当 时，级数 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

设 是正项级数。并且，则

当 时，级数 收敛。

当 时，级数 发散。

当 时，级数 可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

具有以下形式的级数

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数。

在上述的级数中，如果当 n 趋于无穷时, 数列 a_n 的极限存在且等于 0，并且每个 a_n 小于 a_n-1 (即, 数列 a_n 是单调递减的)，那么级数收敛。

对于通项为任意实数的无穷级数 ，将级数 称为它的绝对值级数。可以证明，如果收敛，那么 也收敛，这时称 绝对收敛。如果 收敛，但是 发散，则称 条件收敛。比如说，级数 绝对收敛，因为前面已经证明 收敛。而级数 是条件收敛的。它自身收敛到 ，但是它的绝对值级数 是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 条件收敛，那么对于任意的实数 x ，存在一个正整数到正整数的双射 ，使得级数 收敛到 x 。对于正负无穷大，上述双射也存在。

设 为定义在区间 I 上的函数列，则表达式：称为函数项级数，简记为。对函数项级数的主要研究是：

1. 确定对哪些 x ，收敛。

   收敛的话，其和是什么，有什么性质？

对区间 I 上的每个 ，级数 是常数项级数。若收敛，则称 是的一个收敛点， 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若发散，则称 是的一个发散点， 全体发散点的集合称为它的发散域。在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为的和函数，记为。按照定义，，其中 为函数项级数在 点上的部分和。

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数 中的每一项 在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

设，也就是说，等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在 点上的部分和。在区间的每一点上，部分和都有极限：

当时，

当时，

于是在区间上，级数 收敛，其和函数为：

当时，；。

这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数在某个区间 内（关于某个范数）一致收敛的定义是它的部分和函数 在区间上一致收敛到和函数，

或者写成

可以证明：

如果级数 在区间 内一致收敛，并且每个 都是连续函数，那么和函数 在区间 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是 函数（p阶连续可微函数），并且各阶导函数级数在区间 内都一致收敛，那么级数和函数 也是 函数，并且：

，。

函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间 和范数，函数项级数 在区间 内绝对收敛，当且仅当常数级数 收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间 内一致收敛。

形同的函数项无穷级数称为的幂级数。一般只需讨论形同的幂级数。

根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为（可开可闭）的形式。这个正数 R （可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数满足，则：

是正实数时，。

时，。

时，。

求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。