一元二次方程

公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已知数，求出这个数。他们使再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：^[2]。

大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于的正根而解决的^[2]。中国数学家还在方程的研究中应用了内插法^[3]。

公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一^[2]。

公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程的一个求根公式^[2]。

公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文（radix）。其中涉及到六种不同的形式，令为正数，如等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法^[2]。

法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系^[2][3]。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2^[4]。

其中是二次项，是二次项系数；是一次项；是一次项系数；是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根^[5]。

（是实数，）

（是实数，）

（是实数）^[5]。

^[5]

^[5]

（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）^[4]。

（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（）决定^[4]。

利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况^[4]。

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的实数根；

②当时，方程有两个相等的实数根；

③当时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

设一元二次方程中，两根有如下关系^[4][5][6]：

这一定理的数学推导如下：

由一元二次方程求根公式知

则有：

（1）形如或的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程^[4][5]。

（2）如果方程化成的形式，那么可得。

（3）如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根。

（4）注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

图1配方法解一元二次方程实例将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解的方法^[5][4]。

（1）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（2）配方法的理论依据是完全平方公式

（3）配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

图 求根公式推导（1）用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，确定的值（注意符号）；

②求出判别式的值，判断根的情况；

③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把的值代入公式进行计算，求出方程的根^[4][5]。

（2）推导过程

一元二次方程的推导如右图2。

注意：一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式:，应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

图3因式分解法举例因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法^[4][4]。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；

③令每个因式分别为零

④括号中，它们的解就都是原方程的解。

图4图像法解方程（1）一元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（为一条抛物线）与轴交点的坐标。

当时，则该函数与轴相交（有两个交点）；

当时，则该函数与轴相切（有且仅有一个交点）；

当时，则该函数与轴相离（没有交点）。

（2）另外一种解法是把一元二次方程化为：的形式。则方程的根，就是函数和交点的坐标。通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值^[4]。

在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据求根公式来求解，即：

可以进行符号运算的程序，如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及虚数的情况）^[7]。