算术基本定理

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数，则不是 ，就是。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设，其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。从而 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

引理：若质数，则不是 ，就是。

引理的证明：若 则证明完毕。若，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在 使得。于是。由于，上式右边两项都可以被p整除。所以。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。

首先n 不是质数。将n 用两种方法写出： 。根据引理，质数 ，所以 中有一个能被整除，不妨设为。但也是质数，因此 。所以，比n小的正整数也可以写成 。这与n 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 是 。例如， 可以以两种方式在 中表成整数乘积： 和 。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 之作用，那么这个唯一分解定理在 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

对于二次方程：，它的根可以表示为：

因为负数不能开平方，的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：两个复数解为:

哪个d值使你得到唯一分解定理？d=1,2,3皆可得到定理，但当d=5时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。6=2×3；。在高斯时代，已知有9个d使得所产生的数有唯一因子分解（a，b如上面指出那样取值）。高斯认为d的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个d值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。