两两相交

两两相交

中文名 两两相交
应用学科 数学
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定义

两两相交,指n条直线中任一条都和其余的相交 。

两两相交的两种形式两两相交的两种形式

字面上可以这样来理解:n条直线中任取两条,都是相交的。

四条直线两两相交一共有三种情况
(1)1个交点,四条直线相交于一点,也叫两两相交,看概念
(2)4个交点,三条线交于一点,另外一条和这三条线相交
(3)6个交点,没有重复的交点,

N条直线两两相交

猜想

两条直线相交时,有1个交点;
3条直线相交时,最多有1+2个交点;
4条直线相交时,最多有1+2+3个交点;
…………………………
n条直线相交时,最多有1+2+3+4+…+n-1= n(n-1)/2个交点.

证明

第一种:用数列递推求法

设an表示n条直线的交点

a1=0 ,

a2=1=a1+1

a3=3=a2+2

…………

an=an-1+(n-1)

上面n个等式相加,得an=1+2+3+……+(n-1)=n×(n-1)/2

第二种:分析法

n条直线中任取1条直线,和其它n-1条直线,都有n-1个交点,一共有n条直线,就有n(n-1)个交点。

因为2条直线共有1个交点,所以要除以2。

所以n条直线两两相交最多就有: n×(n-1)/2不同交点

题目

平面上有20条直线,这些直线两两相交,最多有多少交点?

解:n=20,则n×(n-1)/2 = 20×(20-1)/2=190,所以最多有190个交点

习题

1)平面上有30,40,50条直线,这些直线两两相交,分别最多有多少交点?

2)平面上有30条直线,这些直线两两相交,交点的个数情况Sn等于多少?

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