四次方程

自然，人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式，有时可能对一个四次方程分解出因式；但更多的时候这样的工作是极困难的，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则（就像二次方程那样， 能解所有的一元二次方程）是很有用的。经过很多努力之后，人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则；不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，这样的一种方法在五次方程这里止步了；也就是说，四次方程是次数最高的一种方程，它的解可以通过一个运算法则，由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程，人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解，如同对于五次方程以下的方程所做的那样。

由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根，可以通过（对于任意次数的多项式都为真）试错法，或是使用鲁菲尼法则（只要所给的多项式的系数都是有理的）求出。到了计算机时代，通过牛顿法，人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出，你可以参见下文关于方法的概述。

如果，那么其中一个根为，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程,

四次方程式中若 和 均为 者有下列形态：

因此它是一个双二次方程式。解双二次方程式非常容易，只要设 ，我们的方程式便成为：

这是一个简单的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式来解：

当我们求得 z 的值以后，便可以从中得到 的值：

若任何一个 的值为负数或复数，那么一些 的值便是复数。

开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以

第一步：消除 列。为了做到这一步，先把变量变成，其中

.

将变量替换：

展开后变成：

整理后变成以u为变量的表达式

现在改变表达式的系数，为

结果就是我们期望的低级四次方程式，为

如果 那么等式就变成了双二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 的值.

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恒等式

从方程 (1)和上式，得出：

结果把 配成了完全平方式：。左式中， 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ，相应地在右边插入一项。根据恒等式

及

两式相加，可得

（的插入）

与等式(2)相加，得

也就是

现在我们需要寻找一个值，使得方程的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式：

右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零：

因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程：

把二项式与多项式相乘，

两边除以，再把移动到右边，

这是关于的三次方程。两边除以，

方程是嵌套的三次方程。为了解方程，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程：

方程变为

展开，得

合并同类项，得

这是嵌套的三次方程。

记

则此三次方程变为

方程的解(三个解中任何一个都可以)为

令

（由三次方程）

则原来的嵌套三次方程的解为

注意 ：

注意 ：

的值已由式给定，现在知道等式的右边是完全平方的形式

这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。

从而它可分解因式为：

.

注：若 则 。如果 则方程为双二次方程，前面已讨论过。

因此方程化为

.

等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式：

.

对 合并同类项，得

.

注： 及 中的下标 用来标记它们是相关的。

方程是关于的二次方程。其解为

化简，得

这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为

注意：两个 来自等式的同一处，并且它们应有相同的符号，而 的符号是无关的。

给定一个四次方程

其解可用如下方法求出：

若 ，求解 并代入 ，求得根

.

（平方根任一正负号均可）

（有三个复根，任一个均可）

两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根，对， ,,,及 及 及 来求。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根 的选取。（见对相对的注）

此即所求。

还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

，

它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。

此四次方程是下列两个二次方程之积：

以及

由于

因此

设

则方程变为

同时有(未知的)变量和使方程变为

方程与相乘，得

把方程与原来的二次方程比较，可知

及

因此

方程的解为

这两个解中的一个应是所求的实解。

一个例子可见双二次方程。