包络线

在几何学，某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

设一个曲线族的每条曲线可表示为，其中 s是曲线族的参数，t是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由得出，其中h(s)以以下的方程求得：

若曲线族以隐函数形式F(x,y,s)=0表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去s得出。

绣曲线是包络线的例子。直线族(A-s)x+sy=(A-s)(s)（其中A是常数，s是直线族的变数）的包络线为抛物线。

设曲线族的每条曲线为。

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切，对于任意的s，设表示和包络线相切的那点。由此式可见，s是包络线的变数。要求出包络线，就即要求出h(s)。

在的切向量为，其中t=h(s)。

在E的切向量为。因为x是s和 t的函数，而此处 t=h(s)，局部求导有：

类似地得。

因为E和在该点相切，因此其切向量应平行，故有

其中。可用此两式消去h'(s)。整理后得：

电子信息学定义

一个高频调幅信号，它幅度是按低频调制信号变化的。如果把高频调幅信号的峰点连接起来，就可以得到一个与低频调制信号相对应的曲线。这条曲线就是包络线。

经济学定义

在经济学上指的是每条包络线上，在连续变化的每一个产量水平上，都存在着长期成本LTC曲线和一条短期成本STC曲线的相切点，该STC曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的总成本就是生产该产量的最低总成本。