一个函数,若其值域是一个线性空间或一个线性空间的一个子集,则称此函数为向量值函数。
在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为x = f (t),,y = g(t),t∈I ,这样点(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲线C ,它是质点的运动路径,它用参数方程来描述。如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P(f (t), g(t))的向量,那么r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t)i+ g(t)j。
r(t) ={f (t), g(t), h(t)}= f (t)i+ g(t)j+ h(t)k。
Γ: x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I。
对于二维向量值函数r(t) = f (t)i+ g(t)j,设它在t0的某去心邻域内有定义,如果lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0),则称当t →t0时,向量值函数r(t)的极限存在,其极限为limr(t)=ai+bj(t→t0);
如果二维向量值函数r(t) = f(t)i+ g(t)j在t0 的某邻域内有定义,且limr(t)=r(t0) (t→t0),则称向量值函数r(t)在点t0处连续;
如果r(t)在区间 I 的每个点上连续,则称r(t)为区间 I 上连续的向量值函数。
limr(t)=ai+bj(t→t0),其中lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0)。
若向量值函数r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k,则向量值函数的微分表达式为:
r'(t) = x'(t)i+ y'(t)j+z'(t)k或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}。