差分格式

对二阶常微分方程边值问题：

(1)

。 (2)

式中，q，f 为 [a,b] 上的连续函数，为给定常数。这是最简单的椭圆型方程边值问题。

将区间 [a,b] 分成 N 等分，分点为，其中称为步长，称为网格的节点。于是，得到区间 [a,b] 上的一个网格剖分。

现在将方程 (1) 在节点离散化。为此，对充分光滑的解 u，由泰勒展式得

(3)

其中表示方括号内的函数 在点取值。于是在可将方程 (1) 写成

(4)

其中(5)

显然，当 h 足够小的时候，是 h 的二阶无穷小量，若舍去则得到逼近方程(1)的差分方程：

(6)

式中，称为差分方程(6)的截断误差。利用差分算子，可将(4)写成形式

(7)

而在节点处，微分方程(1)为，以此与(7)相减，得

(8)

所以是用差分算子代替微分算子 L 所引起的截断误差，它关于 h 的阶为。

差分方程(6)当时成立，加上边值条件，就得到关于的线性代数方程组：

(9)

(10)

它的解是于的近似。

称(9)、(10)为逼近 (1)、(2) 的差分方程或差分格式。

构造差分格式的方法有多种，如直接差分化、积分插值法、变分-插分法及待定系数法等。^[1]