- 齐次微分方程
齐次微分方程
中文名
齐次微分方程
求解关键
作变换u=y/x，即y=ux
应用学科
高等数学
定义
形如
的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称微分方程。
方程特点
齐次微分方程的特点是其右端项是以
为变元的连续函数。
例如，
是齐次微分方程，它可以转化为：
，即
。[1]
方程的解
齐次微分方程通过变量代换，可化为可分离变量微分方程来求解。
令
或
，
其中
是新的未知函数，对
两边求导，则有：
，
将其代入
，得：
，
分离变量，得：
两边积分，得：
，
求出积分后，再将
回代，便得到方程
的通解。
求解步骤
（1）作变换，将齐次方程转化为分离变量的微分方程；
（2）求解可分离变量的微分方程；
（3）用
代替步骤（2）中所求通解中的
（即变量还原），就可以得到原方程的通解。[1]
注意事项
如果有
，使得
，则显然
也是方程
的解，从而
也是方程
的解；如果
，则方程变成
，这是一个可分离变量微分方程。
典例
例1
求解方程
。
解：令，则，，
原方程变为：
，即
；
分离变量可得：
，
左右两端同时积分可得：
，
将代入，便可得到原方程的通解为：
，其中 C 为任意常数。[1]
例2
求方程
的通解。
解：令，则，，
原方程变为：
，即
；
分离变量可得：
，
左右两端同时积分可得：
，
将代入，便可得到原方程的通解为：
，其中 C 为任意常数。[2]
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