负指数幂

在指数法则中，如果，则就产生了负指数幂。

定义负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数。也就是

应该知道，负指数幂也是不能用正整指数幂的意义来解释的。也就是说“”不能认为是“个相乘”的意思。另外在定义中规定底数不得为零，其原因是和零指数幂的定义是一样的。

在中规定，，这是因为产生于， 当时，，我们知道0是不能作除数的， 所以中，当时，这是没有意义的^[2]。

n个相乘的积称为“的n次幂”或“的n次乘方”记作，是底数，n是指数。这里n可以是分数、负数，分别称为“分指数幂”、“负指数幂”，也可以是任意实数或复数。

当幂的指数为分数时，称为“分指数幂”。正数的次幂(是既约正分数)定义为的m次幂的n次算术根，就是：

（1）n个相乘的积称为的n次“乘方”，参见“幂”。

（2）从求的运算，称为“乘方”。

一般地，叫作的次幂，叫作幂的底数，叫作幂的指数，并且规定。我们注意到在的n次幂定义中，n是正整数，因此通常又把它称为正整数指数幂^[3]。

容易验证，正整数指数幂的运算满足如下法则：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)。

在法则(3)中规定了，如果取消这个限制，就需要讨论下面两种情形：

❶当时，幂的商有如下运算：

依照法则(3)则有

即

这就说明当指数为负整数时，幂的值是有意义的。此时规定

叫作负整数指数幂。

❷当时，幂的商有如下运算：

且故

这说明当指数为零时，幂的值是有意义的。此时规定

叫作零指数幂，又叫零次幂。但是是无意义的。

正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂统称为整数指数幂。正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然是成立的。特别地，有^[3]

同上所述，容易验证，正整数指数幂的运算满足如下法则：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)。

(5)；

注：①这些运算性质在整数指数范围内仍然适用。

②任何不等于零的数的(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即(，n为正整数)。在这两个幂的意义中，强调底数都不等于零，否则无意义。

③学习了零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幕的范围^[2]。

当指数概念扩充到任意实数之后，幂的运算法则可合并为^[4]：

(1)；

(2)；

(3)。