欧几里得环

一个欧几里得整环是一整环 及函数 ，使之满足下述性质：

若 而 ，则存在 使得 ，而且或者 ，或者 。

若 整除 ，则 。

函数 可设想成元素大小的量度，当 时可取 。

欧几理得整环的例子包括了：

整数环 ，。

高斯整数环 。

域上的多项式环（）与幂级数环（ 定义为使 的最大非负整数 ）。

离散赋值环， 定义为使 的最大非负整数 ，其中 表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中 -值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 的整数环在 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。