实数线具有一个标准拓扑,它可以通过两种等价的方法引入。
第一,实数满足全序关系,它们具有序拓扑。
第二,实数能够通过绝对值 的度量转换到度量空间。这一度量给出 R 上等价于序拓扑的拓扑。
作为拓扑空间,实数线是个 1 维的拓扑流形。
它既是可缩空间、局部紧致空间,也是仿紧致空间、第二可数空间。它还具有标准可微结构,使它成为可微流形。(由于可微同构,该拓扑空间只支持一个可微结构。)事实上,R 是历史上研究这些数学结构的第一个实例,它启示了现代数学这些分支。(实际上,上述这些术语中的其中一些在没有 R 的情况下甚至不能被定义。)
作为向量空间,实数线是实数域 R(即其自身)上的 1 维向量空间
它具有标准内积,使它成为欧几里得空间。(这个内积就是普通的实数的乘法。)作为向量空间,它并不引起注意。实际上是 2 维欧几里得空间首先被作为向量空间进行研究的。然而,仍然可以说,由于向量空间首先是在 R 上进行研究的,它启示了线性代数。
R 也是环,甚至是域的主要实例。
实数完备域实际上是第一个被研究的域,所以它也启示了抽象代数。然而,在纯代数文献中,R 几乎不被称为“线”。
更多信息,请参见实数。