数列极限

定义若函数的定义域为全体正整数集合，则称

为数列。因正整数集的元素可按由小到大的顺序排列，故数列也可写作

或可简单地记为，其中称为该数列的通项。

定义设为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有

则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作

若数列没有极限，则称不收敛，或称发散。^[1]

等价定义任给，若在(a-ε,a+ε)之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。

当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N个）在其外,如右图1

图1

（1）求极限^[2]

解：

（2）求极限^[3]

解：

因为

且

所以，由迫敛性可得

唯一性若数列收敛，则它只有一个极限。

有界性若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数n有

保号性若(或)，则对(或),存在正数N，使得当时，有(或)。

保不等式性设与均为收敛数列。若存在正数，使得当时有，则

迫敛性设收敛数列，都以a为极限，数列满足：

存在正数，当时有则数列收敛，且

四则运算法则

若与为收敛数列，则，，也都是收敛数列，且有

若再假设及，则也是收敛数列，且有^[1]

单调有界定理在实数系中，单调有界数列必有极限。^[1]

致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。