定比分点公式

设坐标轴上有向线段的起点A和终点B的坐标分别为和分点M分的比为，那么，分点M的坐标^[1]

证明:分点M的坐标为x，那么由定理1 知

由此得

设坐标轴上线段AB的端点A和B的坐标分别为，和那么线段AB的中点的坐标^[1]

【例1】 已知有两点P1(3，-2)，P2(-9，4)，线段P1P2与x轴的交点P分有向线段P1P2所成比为，则有是多少？并求P点横坐标。

解：设,则有得

评注：先由起点、分点、终点的纵坐标求出，进一步再得到分点的横坐标。^[2]

【例2】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1，-2)，B(3，4)，C(0，3)，则顶点D的坐标为多少？

解：设平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为E(x，y)，即E为AC的中点，所以

即E点的坐标为。

又因为E为BD的中点，所以解得。

评注：利用平行四边形性质。^[2]

【例3】 在平面上有五个整点(坐标为整数的点)，证明其中至少有两个点的连线的中点也是整点。

证明：设A，B，C，D，E是五个整点，则每个点的坐标的奇偶不外四种可能，就是(偶，偶)、(奇，奇)、(奇，偶)和(偶，奇)。我们取四个点A、B、C、D，它们的坐标的“最坏”情形是(偶，偶)、(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)。因为这时四个点中任意两个点的连线的中点都不是整点，第五个点E的坐标只能是上面说的四种情形之一，但不论是哪种情形，容易验证E与A、B、C、D中的某一点的连线的中点必是整点。

【例4】 在点和处各放置质量为m1和m2的质点，求证：这两个质点组成的质点系的重心的坐标为

在n个点处各放置质量为的质点，求证：这n个质点组成的质点系的重心的坐标为

证明：两个质点组成的质点系的重心G在线段P1P2上，并且满足条件

即

所以

所以重心G的坐标

一般情形请读者用数学归纳法证明。

【例5】已知n个点，在有向线段上取一点G2，使G2分的比为1：1；在有向线段上取一点G3，使G3分的比为1：2；在有向线段上取一点G4，使G4分的比为1：3；......；在有向线段上取一点Gn，使Gn分的比为1：n-1，求证：最后的分点Gn的坐标为

点Gn叫作已知的n个点P1，P2，…，Pn的(几何)重心(图1)。

特别地，以为顶点的三角形的(几何)重心的坐标为

证明：设例4中的n个质点的质量都相等，这时n个质点的力学重心即是n个点P1，P2，…，Pn的几何重心Gn，所以Gn的坐标为

不利用例4也可独立证明。^[1]

词条图册(2)