费尔巴哈定理

三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。

设△ABC的内心为I，九点圆的圆心为V。三边中点分别为L，M，N，内切圆与三边的切点分别是P，Q，R，三边上的垂足分别为D，E，F。

全局图不妨设AB>AC。

假设⊙I与⊙V相切于点T，那么LT与⊙I相交，设另一个交点为S。

过点S作⊙I的切线，分别交AB和BC于V，U，连接AU。

又作两圆的公切线TX，使其与边AB位于LT的同侧。

由假设知

∠XTL=∠LDT

而TX和SV都是⊙I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是

∠XTL=∠VST

局部图1因此

∠LDT=∠VST

则

∠UDT+∠UST=180°

这就是说，S，T，D，U共圆。

而这等价于：LU×LD=LS×LT

又 LP²=LS×LT

故有 LP²=LU×LD

另一方面，T是公共的切点，自然在⊙V上，

因此 L，D，T，N共圆，进而有

∠LTD=∠LND

局部图2由已导出的S，T，D，U共圆，得

∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB

=∠AVU-∠B

而

∠LND=∠NLB-∠NDB

=∠ACB-∠NBD

=∠C-∠B

（这里用了LN∥AC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）

所以，就得到

∠AVU=∠C

注意到AV，AC，CU，UV均与⊙I相切，于是有

∠AIR=∠AIQ

∠UIS=∠UIP

∠RIS=∠QIS

三式相加，即知

∠AIU=180°

也即是说，A，I，U三点共线。

另外，AV=AC，这可由△AIV≌△AIC得到。

（这说明，公切点T可如下得到：

连接AI，并延长交BC于点U，

过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，

最后连接LS，其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T。

）

连接CV，与AU交于点K，

则K是VC的中点。

前面已得到：LP²=LU×LD

而

2LP=(BL+LP)-(CL-LP)

=BP-CP

=BR-CQ

=(BR+AR)-(CQ+AQ)

=AB-AC

=AB-AV

=BV

即 LP=BV

然而

LK是△CBV的中位线

于是 LK=BV

因之 LP=LK

故 LK²=LU×LD

由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明： LK²=LU×LD。往证之

这等价于：LK与圆KUD相切

于是只需证：∠LKU=∠KDU

局部图3再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位线），即有

∠LKU=∠BAU

又AU是角平分线，于是

∠LKU=∠CAU=∠CAK

于是又只需证：∠CAK=∠KDU

即证：∠CAK+∠CDK=180°

这即是证：A，C，D，K四点共圆

由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC

所以 A，C，D，K确实共圆。

这就证明了⊙I与⊙V内切。

旁切圆的情形是类似的。

证毕

另略证：

OI^2=R^2-2Rr

IH^2=2r^2-2Rr'

OH^2=R^2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径，R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径)

FI^2=1/2(OI^2+IH^2)-1/4OH^2=(1/2R-r)^2

FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。F是九点圆圆心，I为内心）