最大项

逻辑代数的公理具有对偶规律。相应地，逻辑表达式也有“或一与”表达式的形式，例如式(1)就是一个“或一与”表达式，括号中的项称为“或”项，也称为“和”项。

设有n个逻辑变量，它们组成的“或”项中，所有变量或以原变量或以反变量形式出现、且仅出现一次，则这样的“或”项称为n变量的最大项。显然，n个逻辑变量共有2n个最大项。^[2]

例如，对于两个变量A、B，最多可构成4个最大项：

对于3个变量A、B、C，最多可构成8个最大项：

最大项可用符号表示，但下标的取值规则与最小项的取值规则恰好相反。确定值的方法为：先把各变量的排列顺序固定下来，接着，对于某一最大项，将原变量记为0，反变量记为1，这就得到一个二进制数。该二进制数对应的十进制数就是值。例如：对于最大项即。

照此，上述3个变量形成的8个最大项可表示为：

现在进一步讨论最大项的性质。由最大项的定义和逻辑代数的公理不难证明：^[2]

性质1对于任意一个最大项，在变量的各种取值组合中，只有一组取值能使其为0。例如，A=0、B=1、C=0时，只能使M5为0。

性质2任意两个最大项Mi和Mj(i≠j)之和必为1。

性质3n个变量的所有2n个最大项之积必为0。借助普通代数的求积符号，此即：

下面讨论用最大项来表达逻辑函数。可以证明，任何逻辑函数，总可以选择若干个不同的最大项相乘而得到。当逻辑函数所描述的逻辑功能一定时，这种选择是唯一的。

例如，函数的最大项表达式为

上式中的最后一行，括号内的十进制数表示参与求积运算的各个最大项Mi的下标值。

一般地，具有n个变量的逻辑函数，可以用形如：

的方式表达，其中，是构成函数所需的最大项Mi的下标值。这种最大项之积的标准形式称为逻辑函数的最大项表达式，也称为和之积范式。

上面推出最大项表达式的过程表明，若已知函数为“或-与”表达式，将逻辑函数转化成最大项表达式的方法是：在每个非最大项中加上它所缺变量的“原”、“反”之积(如形式)，再运用分配律将其展开，直到全部或项都变为最大项，即得已知函数的最大项表达式。^[2]