幂指函数

幂指函数指数和底数都是变量的函数，形如是数集）的函数称为幂指函数，其中 u,v 是 E 上的函数。

当不给出 u(x)与 v(x) 当具体形式时，总要求。因此，幂指函数可改写成由与复合而成的函数 f(g(x))，从而当 u,v 连续时它连续,u,v 可微时它也可微。^[2]

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

最简单的幂指函数就是y=xx。说简单，其实并不简单，因为当你真正深入研究这种函数时，就会发现，在x<0时，函数图象存在“黑洞”——无数个间断点，如右图所示(用虚线表示)。

图1.最简单的幂指函数在x>0时，函数曲线是连续的，并且在x=1/e处取得最小值，约为0.6922，在区间(0，1/e]上单调递减，而在区间[1/e，+∞)上单调递增，并过(1,1)点。

此外，从函数y=xx的图象可以清楚看出，0的0次方是不存在的。这就是为什么在初等代数中明文规定“任意非零实数的零次幂都等于1，零的任意非零非负次幂都等于零”的真正原因。

本段中所有的记号，表示的是各种可能的趋向，即 *可以是a、a-0、a+0 、∞ 、-∞ 或+∞ 。

利用恒等变形（即换底变形）及复合函数求极限法则，有

是两个函数乘积的极限，我们知道当且仅当和中有一个等于0，另一个为时，极限才是待定型。

所以幂指函数极限仅有三种待定型：型、型、型。

幂指函数的极限除了上述三种待定型外没有第四种待定型了。

若、，因为规定l了，所以必有，则

（1），（i），；（ii），；

（2），，；

（3），（i）为，；（ii）为为，；

（4），（i）为，；（ii）为为，；

（5）为+，（i）或，；（ii）或，。

（1）求，

解这个极限式“型”待定型，先求，所以

（2）求，

解这个极限式是“型”待定型，先求，其中

利用等价无穷小关系公式可作等价无穷小代换，即可得

所以。

（3）求

解这个极限式是“型”待定型，先求待定型，根据洛必达法则可得

所以。

注本题也可以等价无穷大替代，或经过放大缩小后再用夹逼准则计算。

（4）求。

解这个极限式是“型”待定型，先计算，由于，可知是时的无穷小量，利用等价无穷小关系，可得

所以。

注 （1）这里“型”待定型中不能先把“底的极限1”先算出来，错成。

（2）解这种问题时除了使用洛必达法则外，经常会用到等价无穷小替代及换元方法。

下面给出一般幂指函数的求导方法。为书写方便，把f(x)和g(x)分别用f和g代替，即

指数求导法

由于幂指函数定义中f(x)>0，因此可以利用对数的性质将函数改写。，再对指数函数进行求导。

对数求导法

这种方法是在两边取对数，再利用隐函数的求导法则求出y‘。

多元复合函数求导法

根据一元与多元函数复合的求导法则，的导数为