棣美弗定理

设两个复数（用三角形式表示），则：

证：先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量来表示复数。于是，该向量可以分成两个在实轴、虚轴上的分向量。如果向量与实轴正方向的夹角为，那么这两个分向量分别等于（其中）。所以，复数Z可以表示为。这里θ称为复数Z的辐角。

∵

∴

其实该定理可以推广为一般形式。

设n个复数

则：

在一般形式中如果令，则能导出复数乘方公式：.

对n∈Z*，采用数学归纳法证明。

①当n=1时，等式明显成立

②设当n=k时等式成立，则当n=k+1时

即当n=k+1时等式也成立

综上，对于任意正整数n，都有

如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：

如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即

则

这和指数的可加性一致。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学家．

棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱。棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响。随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义。那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学。在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感。

1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J．奥扎拉姆（Ozanam）。在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作。

1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来。正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销。随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国。据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦。但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国。随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的。

抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习。一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了。后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了。这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究。

1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意。1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员。

棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重。哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏。据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”。1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重。1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士。1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员。

棣莫弗终生未婚。尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒。自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师。他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口。他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间。为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事。