循环节

对一个大整数求倒数,用 牛顿法可以快速达到很高的精度,但需要的空间很大,如果求一个10^300数量级的 质数p的倒数,其循环节长度有可能达到p-1,没有一台计算机的内存能够储存整个循环节的数据,如果用普通的 除法,只需储存余数,占用的内存不大,可却可能要计算p-1次,不可能算完,请问有什么好的方法解决这个问题吗?只要有循环节的长度就可以,不用输出循环节的内容

这个问题的另一种描述:给定大整数n(可能是质数也可能是合数,且不知道这个数的分解形式),求最小的k使10^k ≡1 (mod n)

对a^k ≡1 (mod n)

若n与a互素,求分母n的欧拉函数值ψ(n).那么循环节长度k必是ψ(n)的约数.

若n与a有公因子,显然无解.

根据这个性质,对每个约数试验就可以了.

循环节  ψ(n)的求法:

设n=p1^c1*p2^c2*...*pk^ck;(pi为素数)

那么,ψ(n)=(p1-1)*p1^(c1-1)*(p2-1)*p2^(c2-1)*...*(pk-1)*pk^(ck-1).

因此求ψ(n)与将n因数分解密切相关.

如果n有300位的话,对300位数分解是困难的.

当然,以上只是对a^k ≡1 (mod n)(a为与n互素的任意数)形式来讨论的.如果a=2,可能有更好的办法.

事实上提出这个问题的初衷,是发现大数分解问题可以转化为求一个大数的倒数的循环节的长度

给定n,在RSA加密中,n肯定是两个质数的积,设n=p*q,此时1/n的循环节的长度l|gcd(p-1,q-1),

假定知道l的因数分解,l=l(1)^c(1）*l(2)^c(2)*...*l(k)^c(k),则l有∏[c(i)+1]个约数,将这些约数分别加上1,如果某个约数y(j)加一后是质数,则y(j)+1有可能是n的约数,对所有 <sqrt(n)-1的y(j)进行检验,必能找到一个恰好满足y(j)+1=min(p,q),这一部分所用的时间应该不会很多.于是大数问题就转化为求1/n的循环节长度l

当然l也可能是一个很大的数,但对n为奇数的情况,l必为偶数,可以先除去所有因数2,甚至其他较小的素因子,得到l ',然后再用相同的办法,求1/l '的循环节长度l(2)...

即使在最坏的情况下,也有l ' <n/4,因此一个300位的大整数,最多只需通过log(10^300)/log(4) <500次转换,就可以完成分解

当然,上述设想完全是建立在存在一种高效算法求1/n的循环节长度l的情况下,如果除了Ψ(n)的方法之外,没有别的方法,那么上述设想大概毫无价值,提此问题正是为了寻找一种新的方法,不依靠ψ(n),快速求l

小数化分数分成两类。

一类： 纯循环小数化分数，循环节做分子；连写几个九作分母，循环节有几位写几个九。例：0.3（3循环）=3/9（循环节的位数有一个，所以写一个9）

0.347（347循环）=347/999（3位循环节写3个9）

另一类： 混循环小数化分数（问题就是这类的），小数部分减去不循环的数字作分子；连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0。例0.2134（34循环）=（2134-21）/9900

问题中1.203（03循环）=1+0.203=1+（203-2）/990

如3.43535……是无限 循环小数，可以简写为3.435（35循环），它的循环节是35。