最小实现

足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量^[1]。

以状态变量，，…，为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。

一般系统的动态特性可以由状态变量所构成的一阶微分方程组来描述^[1]。

由描述系统输入输出动态关系的运动方程或传递函数，建立系统的状态空间表达式的问题，称为实现问题^[1]。

在实现问题中，若原传递函数没有零极点对消的情况，则对该传递函数的实现称为最小实现^[1]。

状态空间的建立，或者说其表达式的建立，一般有几种途径：

1. 已有系统框图时，可以将系统框图转换为模拟结构图，把图中每个积分器的输出选为状态变量，就可以通过模拟结构图直接写出系统状态空间表达式（状态方程和输出方程）；
2. 对于相对简单、机理清晰的系统，可以从系统的机理出发，利用物理规律和数学方法直接建立状态空间表达式；
3. 在不知道系统的内部结构的情况下，通常是仅有系统的外部描述——传递函数或运动方程，此时即系统的实现问题，实现本身是非唯一的，将在下面详细介绍（仅讨论最小实现问题）。

一般的求取传递函数阵G(s)的最小实现的步骤是：

1）对于给定的传递函数阵G(s)，先初选出一种实现(A,B,C)，通常最方便的方法是选取能控标准型实现或者能观标准型实现；

2）对于上面初选的实现，找出其完全能控且完全能观的部分，于是这个完全能控能观的部分就是给定的传递函数阵W(s)的最小实现。

假设n阶线性系统传递函数为

其中Y(s)是输出函数的拉氏变换，U(s)是输入函数的拉氏变换，a和b都是实数。三种常用的实现方法如下^[2]：

1.标准型法

①对G(s)引入中间变量z(t)，改写G(s)为；

②令，则，其微分方程为

③可选取z及其一系列导数为状态变量，则有

……

输出方程：

④根据以上方程可以得到系统的状态空间表达式。

2.串联法

该方法的基本思路是把一个n阶传递函数分解为若干一阶传递函数的乘积，再分别对各个一阶环节模拟，最后串联得到系统状态变量模拟图。

3.并联法

该方法的基本思路是把一个n阶传递函数分解为若干一阶传递函数的累加，再分别对各个一阶环节模拟，最后并联得到系统状态变量模拟图。