积分中值定理

若函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

其中，a、b、满足：。

二重积分的中值定理

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点，使得:

定理证明

在上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。

对两边同时积分可得：

同除以从而得到：

由连续函数的介值定理可知，必定，使得，即：

命题得证。

在上Riemann可积，考虑下列两种情况：

（1）在上单调递减且在时，，

那么存在使得.

（2）在上单调递增且在时，，

那么存在使得.^[2]

只需证明第一种情况，第二种情况于此类似.设.是一个连续函数,故在上有最小值和最大值

由单调性知道,.

.因为在上是单调的,故可积,所以对任意,存在分割

,其中为在上的振幅.因在上黎曼可积,故有界,记为则

这里用到阿贝尔变换,

同理有原式

由上述证明知道

得,从而

所以从而.^[2]

这个定理的几何意义为:若，，则由轴、、及曲线围成的曲边梯形的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积。

如果函数、在闭区间上连续，且在上不变号， 则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：

一、如果函数,在闭区间上可积，且为单调函数，则在积分区间上至少存在一个点,，使下式成立：

二、如果函数、在闭区间[a,b]上可积，并且是单调递减函数，则在积分区间上至少存在一个点， 使下式成立：

三、如果函数、在闭区间上可积，且并是单调递增函数，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

在函数极限的计算中, 如果含有定积分式, 常常可以运用定积分的相关知识, 比如积分中值定理等, 把积分号去掉。

例题1

某些带积分式的函数, 常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题, 有时运用积分中值定理能使问题迎刃而解。

例题2

在大多数的积分式中, 能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时, 可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数, 将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计, 可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法,

例题3

积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。

在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可以得到“”的结论, 或者成功的解决问题。

例题4