极限理论

[英] the theory of limit

       读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。对极限理论的理解和处理是专业学数学和其他科系学数学的分水岭之一，这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论（epsilon——δ，函数极限为epsilon——Delta理论）。这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论诲涩难懂，令一拨刚从初等数学跳到高等数学的学生焦头烂额。包括数学系的学生，一些人到了毕业，还对为什么要用如此抽象的ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论来描述微积分的极限不甚了解。

       微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函数（这样做的原因是：两个数a,b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量，比如用数列的一般项Xn减去数列的极限值A来表示数列{Xn}在n->∞时，极限是A,即Xn与A无限接近。），问题就可变为“一个数列或函数无限地接近于0”，也就是微积分学的精髓无穷小量。数学家以外的人一般就认为这个无穷小量就是0。这里关键的东西是“无限地接近于”的表述。什么是无限地接近？一般人可以说就是要多近就有多近。在其他学科尤其是社会学科这么讲也说得过去了，但是数学家对它不满意，他们是一群追求逻辑完美的人，这样含糊的定性分析不能让他们止步。你说毛主席和林彪在文革开始不也是要多近就有多近吗，后来不是照样办了？数学家要的是完备的定量分析，这就是说，给你一个以0为极限的数列或函数，凭什么来度量它和0“要多近就有多近”？ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论就是要给出一个判定准则。

       陈景润的讲座让众人耳目一新。他先引 庄子《天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说无限的思想从我们 老祖宗那里就有啦。大家不是都说这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Delta）理论难懂吗？那现在我就用ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论来试试庄子这个中国命题，看看在座不是专门学数学的人能不能也听得懂这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）。几百人的大教室里 座无虚席， 鸦雀无声，都想见识一下陈景润怎么剃这个刺头。陈景润说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说的就是微积分学中的无穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为0。ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论翻译成庄子的话应该是，“一尺之棰，日取其半，切到某一天，没有了。”注意，这里有和没有，决定于我们的观测水平。如果用肉眼看，可能分到500天就看不到了，我们就认为没有了。但是换上一台显微镜来看，又可以看得到了。于是我们继续切，再切到10000天，这台显微镜也看不到了。但是换上更高倍的显微镜，还是看得见。我们就继续切下去。ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论说的是，只要你给一个分辨率，不论是多么精确的显微镜，我总能给一个 天数，当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。于是，对任何数列或函数，都用这把 尺子去量，以分辨它的极限是不是0。满足这把尺子，极限为0，反之则不是。这就是ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论无穷小——极限为0的实质。在“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这个具体问题里，L=0；f（n）=1/（2^n）：等分一尺之棰n天以后的长度；ε：任意给出的长度（分辨率）；N：达到这个长度（分辨率）所需要的天数。