紧集

如果一个集合包含在某个球内，也即存在和使得，那么该集合是有界的(bounded)。

有界的定义可以用某个固定的球心表述，因为如果一个集合包含在球中，那么它也包含在球中。我们通常设定来讨论有界性。

如果是有界的闭集，那么S是紧集。^[1]

定义1设是中的一个点序列，设为一个正整数序列，并且[这里将写成较为方便]。由组成的序列称为的子序列。如果对于所选择的，X“¨，收敛，就说序列有一个收敛的子序列。

定义2假设是一个函数，自变量为，取值为。设S为的任意子集。则是指对的集合。换言之

称为S(关于函数)的象(image)。^[1]

是紧集，当且仅当每个序列(其中，对都有一个收敛于点的子序列。

如果是非空()的紧集，那么S包含了一个最大数和一个最小数。

证明:我们将证明集合S包含一个最大数。证明该集合包含一个最小数的方法是类似的。证明用到了有关实数集R的如下事实：如果一个非空的实数集有上界，那么它有最小上界(实数集S的上界是一个数b，对所有的有)。也就是说，存在一个数，称为LUB或者S的上确界(sup)，使得如果b是S的任意上界，有b≥sup(S)。假设是非空()的紧集。由于紧集是有界的，因而S有一个最小上界比如说。首先假设，那么是S中的最大数，否则就不是S的一个上界。接下来假设。我们将证明是S中点序列的极限，并且，由于S是闭集，因而一定在S中。这与的假设相矛盾。对每一个，存在一个使得，否则S将有一个小于的上界。于是，正如我们所要证明的。^[1]

设为从到的连续函数。如果是紧集，那么也是紧集。

证明:只需要证明，如果是中任意的点序列。那么存在一个收敛于中某个点的子序列根据的定义，在S中存在点使得对任意的，有。由于S是紧集．因而存在的一个子序列，称之为使得对，有。又由于是连续的，。但由于，在中。因此是的收敛于中一个点的子序列。^[1]

设S为的一个非空的紧子集，并设为一个连续函数。则S中存在一个和一个，使得

换言之，连续实值函数在紧集S上既能取得极小值，也能取得极大值。

证明：根据定理3，是紧集；根据定理2，由于，中存在和，使得

和是S中使和的点。^[1]