概周期函数

概周期函数有若干个等价定义。根据哈那德·玻尔引进的分析学上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数 如果满足：对任意正实数，都存在实数，使得任意长度为 的区间里至少存在一个数，使得对于任意的，都有：

在高维欧几里得空间中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在复平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到这类型的函数是在研究有限项狄利克雷级数的时候。当把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限项后，得到的是一些形如

的项。其中的。如果只考虑复平面上的一条竖直的直线（也就是说固定s 的实数部分，而实数 在正负无穷大之间变动），那么实际上每一项变成：

如果只观察有限个这样的函数的和（以避免 时的解析开拓的问题），那么由于对不同的n，是线性独立的，这个和不再是一个周期函数。

在相关研究中，哈那德·玻尔开始注意形如：

的三角多项式函数。它是若干个周期互不相同的周期函数的和。于是概周期函数的另一个定义出现了：如果对每个，都存在三角多项式函数：，使得对于任意的，都有：

可以证明，这个定义与第一个定义是等价的。

考虑若干三角多项式函数：

其中 是复数。每一个 都是周期函数，因此有限个 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

不是周期函数，但仍然是概周期函数。

如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。

如果 是概周期函数，那么对于任意实数，、、、 也是概周期函数。

如果 和 都是概周期函数，那么、 和 都是概周期函数。

如果 是概周期函数，是 的值域到上的一致连续函数, 则也是概周期函数。

如果概周期函数的序列在实轴上一致收敛于函数 ，则 也是概周期函数。

如果 是概周期函数, 则 为概周期函数的充分必要条件是 的导函数 一致连续。

如果 是概周期函数，，则 为概周期函数的充要条件为 有界。