生成集合

代数的生成元：如果 A 是一个环，B 是一个 A-代数，则 S 生成 B 当且仅当 B 的包含 S 的子 A-代数是 B 自己。

群的生成集合：群元素的一个集合除了整个群之外不能包含于任何子群中。参见群呈示。

一个环的生成集合：一个环 A 的子集 S 生成 A 当且仅当 包含 S 的子环只有 A 自己。

环中一个理想的生成集合。

范畴论中产生了生成元概念。通常其含义在上下文中是清晰的。

在拓扑学中，一族集合生成拓扑称为子基。

拓扑代数的生成集合：S 是一个拓扑代数 A 的生成集合如果包含 S 的 A 的最小闭子代数是 A 自己。

一个李群的李代数中元素有时称为这个群的生成元，特别是物理学家。李代数至少通过局部指数可以想为生成群，但李代数在严格意义上不构成一个生成集合。

由诺特定理蕴含的连续对称的生成元，是李群的生成元的特例。在这种情形，一个生成元有时称为荷或诺特荷，类似于电荷是电磁学 U(1) 对称群的生成元。这样，例如夸克的色荷是量子色动力学中 SU(3) 色对称的生成元。更确切地，“荷”只应用于一个李群的根系。

在随机分析中，一个伊藤扩散或更一般的伊藤过程有一个无穷小生成元。

定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号

G=（a）

来表示。a叫做G的一个生成元

设S是群G的一个非空子集，令M是G中所有包含S的子群所组成的集合，即

M={HG显然包含S，所以G∈M，从而M非空。令K=∩H，H∈M，则K是G的子群。称K为群G的由子集S所生成的子群，简称生成子群，记作〈S〉，即K=〈S〉=∩H，S⊆H子集S称为〈S〉的生成元组。