四平方和定理

1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数和能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程

必有一组整数解x，y满足，（引理一）

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。

，因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。

根据引理一，奇质数必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为。又从引理一可知。

设是偶数，且。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设的奇偶性相同，的奇偶性相同，均为偶数，可得出公式：

，与是最小的正整数使得的假设可以表示成四个整数的平方和不符。

现在用反证法证明。设。

不可整除的最大公因数，否则可整除，则得是的因数，但且p为质数，矛盾。

故存在不全为零、绝对值小于（注意是奇数在此的重要性）整数的使得 。

可得 ，其中是正整数且小于。

下面证明可以表示成四个整数的平方和，从而推翻假设。

令，根据四平方和恒等式可知是的倍数，令，

矛盾。

将和为的剩余两个一组的分开，可得出组，分别为。将模的二次剩余有个，分别为。

若是模的二次剩余，选取使得，则，定理得证。

若不属于模的二次剩余，则剩下组，分别为，而模的二次剩余仍有个，由于 ，根据抽屉原理，存在。