最小角定理

平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角^[2]。（为最小角，如图1）。

图1

图2

如图，若AB，AO分别是平面a的垂线和斜线，OB是AO在平面a内的射影，∠AOB为锐角，OC是平面a内和OB不重合的任一直线，在OC上截取OD=OB，连结AD，则AB<AD。

在△AOB与△AOD中，因为OA=OA，OB=OD，AB<AD，所以∠AOB<∠AOD。

定理得证。

上述定理是定义“斜线和平面所成的角”这一概念的理论基础。有了上面的性质，就保证了这一概念的定义的合理性^[2]。

【例1】直线AB与直二面角α-a-β的两个面分别交于A、B两点，且A、B都不在棱a上，设直线AB与平面α和平面β所成的角分别为θ和φ，求θ+φ的取值范围。

图3

解：如图3，作BC⊥a于C，

∵平面α⊥平面β，

∴BC⊥平面α。

∴∠BAC是AB与平面α所成的角。

即∠BAC=θ。

又从BC⊥平面α可知BC⊥AC。

在Rt△BAC中：θ+∠ABC=90°。

由最小角定理可知:φ≤∠ABC，

∴θ+φ≤90°。

故θ+φ∈(0°，90°]^[3]。