π定理

π theorem

π定理是量纲分析法的一个重要定理。

当一物理现象可由n个物理量的函数关系来描述，而这些物理量包括有m种基本因次时，则可以用因次分析的方法获得(n-m)个无因次数群。而这个现象的特征可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即π定理，是因次分析的基本定理，它是由Bucking-ham于1914年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。

π定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即F(x1，x2,……,xn)=0。而这些变量中含有m个基本量，则可排列这些变量成（n-m）个无量纲数的函数关系φ(π1，π2,……,πn-m)=0，即可合并n个物理量为（n-m）个无量纲π数。

π定理的解题步骤：

（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式:

（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。

（3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式

（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各无量纲

π参数。π参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。

（5）写出描述现象的关系式或显解一个π参数，或求得一个因变量的表达式。

选择基本量时的注意原则：

1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。

2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。

3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。