块三对角矩阵

在线性代数中，块三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个块三对角矩阵的非零系数在如下的三条对角线上：主对角线、低对角线、高对角线。在许多物理问题中，块三对角矩阵常常作为原始数据出现，因此它们本身是很重要的，这种矩阵仅有（2n-1）个独立的元素。由块三对角矩阵确定特征值由一些较有效的方法，常见的有两种：QR法、特征多项式法。

形如

的n×n矩阵A称为块三对角矩阵，其中第(i,j)个元素在j>i+1和j<i-1时为零。

块三对角矩阵M是一个对角矩阵，当且仅当时，有M(i,j)=0。在一个nxn的块三对角矩阵T中，非0元素排列在如下的三条对角线上：

（1）主对角线即i=j；

（2）主对角线之下的对角线（称低对角线）即i=j+1；

（3）主对角线之上的对角线（称高对角线）即i=j-1。

这块三条对角线上的元素总数为3n-2，故可以使用一个拥有3n-2个位置的一维数组来描述T，因为仅需要存储块三条对角线上的元素。

QR法对于三对角矩阵来说是很好的，在这个方法中，矩阵被分解成以下形式：，其中是正交矩阵，是上三角矩阵。产生如下的矩阵序列：将化成乘积形式，则定义为。

一般来说，对于化成，其中是正交矩阵，是上三角矩阵，则被定义为和以相反次序乘积式。因为是正交矩阵，。是对称的，与有相同的特征值。我们定义和成这样的形式：是块三对角矩阵，最终趋于变为对角阵，其对角线上的元素给出原矩阵的特征值。

特征多项式法可以像特征多项式的根一样确定特征值。有一种有效的方法来构造块三对角矩阵的特征多项式。使用符号法可以求特征值的归类，从而形成一个Sturmian序列。然后用对分法或试位法来求精确的特征值。由Householder变换得到的对称块三对角矩阵的特征多项式为：

其中，i=1,2,...,n，有：

从向前的Sturm序列可以表示为：

因此有