- 对角矩阵
对角矩阵
定义
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。[2]
（1）对角矩阵形如：
（2）对角矩阵可以记作：
。[3]
（3）当
时，对角阵
称为数量矩阵。
（4）当时，叫做单位矩阵，记作E，有
。[3]
运算规律
和差运算
同阶对角阵的和、差仍是对角阵，有：[3]
数乘运算
数与对角阵的乘积仍为对角阵，有：[3]
乘积运算
同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的，有：[3]
矩阵条件
充要条件
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。[4]
证明过程：
（1）必要性。
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个列向量为
，则有
因而
，因为P为可逆矩阵，所以为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值
的特征向量。
（2）充分性。
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为，对应的特征值分别为，则有，以这些向量为列构造矩阵
，则P可逆，且
，其中C如下：
即
。
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。[4]
说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
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